Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Группы, кольца и поля / Кольцо / 1 2 3 4 5 6


     Докажем теперь, что нуль кольца обладает обычным свойством при умножении:

     Теорема 1. Если один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю, т. е.

a*0 = 0,   0*a = 0     (2)

для любого a.

     Докажем лишь первое из равенств, так как второе вытекает из первого при помощи IV. По определению нуля и разности 0 = b - b для любого b. Отсюда a*0 = a(b - b) = ab - ab = 0.

     Однако теорема, обратная теореме 1, верная для чисел, уже не сохраняется для любых колец, иными словами, если произведение двух элементов кольца равно нулю, то нельзя утверждать, что хотя бы один из них равен нулю. Так, в приведенном выше примере 10 кольца, составленного из пар (a, b) целых чисел, нулем является, очевидно, пара (0, 0). Если взять целые числа и , то пары (a, 0) и (0, b) отличны от нуля кольца, но (a, 0)(0, b) = (0, 0).

     Определение 2. Элементы a и b кольца, для которых , , но ab = 0, называются делителями нуля. Кольцо без делителей нуля называется также областью целостности.

     Теорема 2. Из ab = ac следует b = c, если только и не является делителем нуля.

     Доказательство. Из ab = ac следует ab - ac = 0 или a(b - c) = 0. Но так как и не делитель нуля, то b - c = 0, b = c.

     В дальнейшем нам придется иметь дело исключительно с кольцами без делителей нуля. Для них из ab = ac и следует b = c.

     При умножении справедливы обычные правила знаков, а именно:

a(-b) = -ab, (-a)b = -ab, (-a)(-b) = ab.     (3)


-1-2-3-4-5-6-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, асимптота , ранговая шкала

     Нуль кольца, делитель нуля, область целостности.