Первое из этих равенств доказывается так:

ab + a(-b) = a[b + (-b)] = a*0 = 0,

откуда a(-b = -ab.)

     Второе вытекает из первого:

(-a)b = b(-a) = -ba = -ab.

     Третье следует из первых двух:

(-a)(-b) = -(-a)b = -(-ab) = ab.

     По индукции законы дистрибутивности обобщаются на любое конечное число слагаемых, а затем и на произведение двух сумм.

     Справедливы, таким образом, равенства

     (4)

     Отсюда и из свойств кратного при совпадении слагаемых каждой суммы, т. е. при

a_i = a (i = 1, 2, ..., n), b_k = b (k = 1, 2, ..., m),

следует далее:

     (5)

-1-2-3-4-5-6-