Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Группы, кольца и поля / Расположенные кольца и поля / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


     Абсолютной величиной элемента a расположенного кольца (и, в частности, поля) называется неотрицательный из элементов a и -a. Абсолютная величина элемента a обозначается через |a|.

     Согласно этому |0| = 0 и при a ≠ 0 всегда |a| > 0.

     Теорема 8. Абсолютная величина суммы конечного числа элементов меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда все слагаемые неположительны или все неотрицательны. Абсолютная величина произведения конечного числа элементов равна произведению абсолютных величин сомножителей.

     Доказательство. Ограничимся случаем двух элементов, так как произведение индукции не представляет затруднений. Итак, надо доказать, что

|a + b| ≤ |a| + |b|,     (1)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо a ≥ 0, b ≥ 0, либо a ≤ 0, b ≤ 0, а также доказать, что

|ab| = |a| · |b|.     (2)

Если a ≥ 0 и b ≥ 0, то также a + b ≥ 0 и

|a + b| = a + b = |a| + |b|.

Если a ≤ 0 и b ≤ 0, то -a ≥ 0, -b ≥ 0 и

-(a + b) = (-a) + (-b) ≥ 0,

откуда

|a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) = |a| + |b|.

     Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке =. По симметрии a и b в (1) из двух оставшихся случаев a > 0, b < 0 и a < 0, b > 0 достаточно разобрать лишь первый. По теореме 2, прибавляя a к неравенству b < -b, получим:

a + b < a + (-b) = |a| + |b|.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, пределы , арифметическая прогрессия

     Абсолютная величина элемента расположенного кольца (поля).