Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Группы, кольца и поля / Расположенные кольца и поля / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Расположенные кольца и поля

     Важнейшую роль в математике играют числовые множества, где существуют одновременно и отношения порядка и операции. Рассмотрим упорядоченные кольца и поля с целесообразной связью порядка и операций.

     С отношением порядка в кольце связаны понятия положительности, отрицательности и абсолютной величины элементов (см. определение кольца и определение подкольца).

     Наличие операций позволяет несколько упростить введение порядка в кольце. Оказывается достаточным задать лишь порядок всех элементов относительно нуля. Далее, для сохранения обычных свойств чисел приходится наложить дополнительные требования на связь порядка с операциями. Именно:

     Кольцо (в частности, поле) R называется расположенным, если для его элементов определено свойство быть положительным, удовлетворяющее следующим требованиям:

     IX. Для любого элемента имеет место одно и только одно из трех соотношений: a = 0, a положителен, -a положителен.

     X. Если a и b положительны, то a + b и ab также положительны.

     Если -a положителен, то a называется отрицательным.

     Теорема 1. Если в расположенном кольце R определить порядок, считая a > b тогда и только тогда, когда элемент a - b положителен, то R будет упорядоченным множеством, причем нуль будет меньше всех положительных и больше всех отрицательных элементов.

     Доказательство. Пусть a и b - элементы R. Если a - b = 0, то a = b, если a - b положителен, то a > b, если -(a - b) = b - a положителен, то b > a. Из свойства IX следует, что имеет место один и только один из трех случаев (см. свойство 1 Упорядоченные множества). Далее, если a > b и b > c, то a - b и b - c положительны. По свойству X тогда (a - b) + (b - c) = a - c положителен, т. е. a > c (см. свойство 2 Упорядоченные множества). Итак, R - упорядоченное множество.

     Если a положителен, то из a = a - 0 следует a > 0; если a отрицателен, то из -a = 0 - a следует 0 > a, a < 0.

     Эта теорема показывает, что условия IX и X достаточны для введения порядка в R, причем X дает обычную для чисел связь порядка с операциями кольца.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, миноры , абелева группа

     Расположенные кольца и поля.