Расположенные кольца и поля

     Важнейшую роль в математике играют числовые множества, где существуют одновременно и отношения порядка и операции. Рассмотрим упорядоченные кольца и поля с целесообразной связью порядка и операций.

     С отношением порядка в кольце связаны понятия положительности, отрицательности и абсолютной величины элементов (см. определение кольца и определение подкольца).

     Наличие операций позволяет несколько упростить введение порядка в кольце. Оказывается достаточным задать лишь порядок всех элементов относительно нуля. Далее, для сохранения обычных свойств чисел приходится наложить дополнительные требования на связь порядка с операциями. Именно:

     Кольцо (в частности, поле) R называется расположенным, если для его элементов определено свойство быть положительным, удовлетворяющее следующим требованиям:

     IX. Для любого элемента имеет место одно и только одно из трех соотношений: a = 0, a положителен, -a положителен.

     X. Если a и b положительны, то a + b и ab также положительны.

     Если -a положителен, то a называется отрицательным.

     Теорема 1. Если в расположенном кольце R определить порядок, считая a > b тогда и только тогда, когда элемент a - b положителен, то R будет упорядоченным множеством, причем нуль будет меньше всех положительных и больше всех отрицательных элементов.

     Доказательство. Пусть a и b - элементы R. Если a - b = 0, то a = b, если a - b положителен, то a > b, если -(a - b) = b - a положителен, то b > a. Из свойства IX следует, что имеет место один и только один из трех случаев (см. свойство 1 Упорядоченные множества). Далее, если a > b и b > c, то a - b и b - c положительны. По свойству X тогда (a - b) + (b - c) = a - c положителен, т. е. a > c (см. свойство 2 Упорядоченные множества). Итак, R - упорядоченное множество.

     Если a положителен, то из a = a - 0 следует a > 0; если a отрицателен, то из -a = 0 - a следует 0 > a, a < 0.

     Эта теорема показывает, что условия IX и X достаточны для введения порядка в R, причем X дает обычную для чисел связь порядка с операциями кольца.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-