6. Следствие. Пусть L - невырожденное ортогональное пространство. Тогда любое изотропное подпространство L содержится в максимальном изотропном подпространстве, и для двух максимальных изотропных подпространств L', L" существует изометрия , переводящая L' в L".

Доказательство. Первое утверждение тривиально. Для доказательства второго допустим, что . Любая линейная инъекция является изометрией L' с Im f'. Поэтому она продолжается до изометрии . Тогда и изотропно. Так как L' максимально, dim L' = dim f ^-1(L") = dim L".

7. Следствие. Для любого ортогонального пространства L существует ортогональное прямое разложение , где L₀ изотропно, L_h гиперболично и L_d анизотропно. Для любых двух таких разложений существует изометрия , переводящая одно из них в другое.

Доказательство. Возьмем в качестве L₀ ядро скалярного произведения. Разложим L в прямую сумму . В L₁ возьмем максимальное изотропное подпространство и вложим его в гиперболическое подпространство удвоенной размерности L_h, как в лемме п. 3. В качестве L_d возьмем ортогональное дополнение к L_h в L₁. Оно не содержит изотропных векторов, иначе такой вектор можно было бы добавить к исходному изотропному подпространству, которое не было бы максимальным. Это доказывает существование разложения требуемого вида.

Наоборот, в любом таком разложении пространство L₀ является ядром. Далее, максимальное изотропное подпространство в L_h одновременно максимально изотропно в , поэтому размерность L_h определена однозначно. Значит, для двух разложений и существует изометрия, переводящая L₀ в L₀, L_h в . Она дополняется изометрией L_d в по теореме Витта, что завершает доказательство. Назовем L_d анизотропной частью пространства L; она определена с точностью до изометрии.

-1-2-3-4-5-6-