Доказательство. Разберем последовательно несколько случаев.

а) и оба пространства невырождены. Тогда и можно положить .

б) , и оба пространства невырождены. Изометрию можно продолжить до изометрии , положив для для . Если невырождено, то продолжается до f по предыдущему случаю вырождено, то ядро скалярного произведения на одномерно. Пусть e₁ порождает это ядро, e₂ порождает L'. В ортогональном дополнении к e₂ в L найдем такой вектор , что базис порождаемой этими векторами плоскости гиперболичен. Это возможно по лемме п. 3. Покажем, что подпространство L₀, натянутое на , невырождено, и изометрия продолжается до изометрии . После этого можно будет применить случай а).

Невырожденность следует из того, что , а матрица Грама векторов имеет вид

Для продолжения f' заметим сначала, что ортогональное дополнение к f'(e₂) в L₀ двумерно, невырождено и содержит изотропный вектор e₁. Поэтому оно является гиперболической плоскостью, так же как и ортогональное дополнение к e₂ в L₀. По лемме п. 2, существует изометрия второй плоскости с первой. Ее прямая сумма с f' является искомым продолжением.

-1-2-3-4-5-6-