Доказательство. Пусть . Если не пропорционален l, то , т. к. L невырождена. Можно считать, что (l₁, l) = 1. Положим . Тогда (e₁, e₁) = (e₂, e₂) = 0, (e₁, e₂) = 1. Положим . Тогда . Лемма доказана.

Базис {e₁, e₂ будем называть гиперболическим. Аналогично, в общем гиперболическом пространстве мы будем называть гиперболическим базис с матрицей Грама, состоящей из диагональных блоков .

3. Лемма. Пусть - изотропное подпространство в невырожденном ортогональном пространстве L, {e₁, ..., e_m - базис в L₀. Тогда существуют такие векторы , что образуют гиперболический базис своей линейной оболочки.

Доказательство. Пусть L₁ - линейная оболочка {e₂, ..., e_m. Так как L₁ строго меньше L₀, то строго больше в силу невырожденности L. Пусть . Тогда при , но . Можно считать, что , так что не пропорционален e₁. Как в доказательстве леммы п. 2, положим . Тогда образуют гиперболический базис своей линейной оболочки. Ортогональное дополнение к ней невырождено и содержит изотропное подпространство, натянутое на {e₂, ..., e_m. К этой паре можно применить аналогичное рассуждение, и индукция по m дает требуемое.

4. Теорема (Витт). Пусть L - невырожденное конечномерное ортогональное пространство, - два его изометричных подпространства. Тогда любая изометрия может быть продолжена до изометрии , совпадающей с f' на L'.

-1-2-3-4-5-6-