в) и невырождены. Проведем индукцию по dim L'. Так как в L' имеется ортогональный базис, существует разложение в ортогональную прямую сумму подпространств ненулевой размерности. Так как f' - изометрия, то , где , и эта сумма ортогональна. По индуктивному предположению ограничение f' на продолжается до изометрии . Она переводит в . Снова по индуктивному предположению существует изометрия с , которая на совпадает с ограничением f'. Дополнив его ограничением f' на , получим требуемое.

г) L' вырождено. Сведем этот последний случай к уже разобранному. Пусть - ядро ограничения метрики на L'. Выбрав ортонормированный базис в L', мы можем построить прямое разложение , где невырождено. В ортогональном дополнении к внутри L мы можем найти подпространство такое, что сумма прямая и пространство гиперболично, как в лемме п.3; в частности, невырождено. Аналогично построим , исходя из пространства . Очевидно, изометрия продолжается до изометрий этих прямых сумм, т. к. все гиперболические пространства одинаковой размерности изометричны. Возможность дальнейшего продолжения этой изометрии следует теперь из случая в). Теорема доказана.

5. Следствие. Пусть L₁, L₂ - изометричные невырожденные пространства и - их изометричные подпространства. Тогда ортогональные дополнения к ним изометричны.

-1-2-3-4-5-6-