Алгебры Клиффорда

1. Алгеброй над полем будем называть ассоциативное кольцо с единицей A, содержащее поле и такое, что лежит в центре A, т. е. коммутирует со всеми элементами A. В частности, A является -линейным пространством.

Рассмотрим конечномерное ортогональное пространство L с метрикой g. В этом разделе мы построим такую алгебру C(L) и -линейное вложение , что для любого элемента будет выполнено соотношение

т. е. скалярный квадрат каждого вектора из L будет реализован как его квадрат в смысле умножения в C(L). Кроме того, элементы будут мультипликативными образующими C(L), т. е. любой элемент из C(L) окажется представимым в виде линейной комбинации (некоммутативных) одночленов от элементов . Алгебра C(L) (вместе с отображением ) с такими свойствами будет называться алгеброй Клиффорда пространства L.

2. Теорема. а) Для всякого конечномерного ортогонального пространства L алгеброй Клиффорда C(L) существует и имеет размерность 2ⁿ над , где n = dim L.

-1-2-3-4-5-6-7-8-