Заставив во втором произведении u пробегать сначала все элементы S, а затем все элементы T (при фиксированном r), введем сомножители , равные единице, так что этот "знак" можно записать в симметрическом по S, T, R виде

Аналогично с тем же результатом преобразуется знак, относящийся к . Остается разобрать множители, в которые входят скалярные квадраты a_i. Для они имеют вид

Но , а с этим множеством не пересекается, и состоит из тех элементов , которые содержатся более чем в одном из этих трех множеств. Поэтому наш множитель симметрично зависит от S, T, R. Аналогично с тем же результатом вычисляется нужная нам часть коэффициента . Это завершает доказательство ассоциативности алгебры C(L).

Определим, наконец, -линейное отображение условием . Согласно формулам умножения является единицей в C(L), и

Поэтому есть алгебра Клиффорда для L.

-1-2-3-4-5-6-7-8-