Примеры задач с решениями

Пусть функция f имеет конечную производную f' в каждой точке конечного или бесконечного интервала ]a, b[ и . Доказать, что f'(c) = 0, где c - некоторая точка интервала ]a, b[.

Пусть: 1) функция f определена и имеет непрерывную производную (n - 1)-го порядка на сегменте [x₀, x_n]; 2) f имеет производную n-го порядка в интервале ]x₀, x_n[; 3) выполнены равенства f(x₀) = f(x₁) = ... = f(x_n), x₀ < x₁ < ... < x_n. Доказать, что в интервале ]x₀, x_n[ существует, по меньшей мере, одна точка ξ такая, что f⁽ⁿ⁾(ξ) = 0.

Доказать, что если все нули многочлена P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n, a₀ ≠ 0, с действительными коэффициентами , действительны, то его последовательные производные также имеют лишь действительные нули.

Доказать, что у многочлена Лежандра все нули действительны и заключены в интервале ]-1, 1[.

Доказать, что у многочлена Чебышёва-Лагерра все нули положительны.

Доказать, что у многочлена Чебышёва-Эрмита все нули действительны.

Найти функцию θ = θ(x₀, ∆x) такую, что f(x₀ + ∆x) - f(x₀) = ∆xf'(x₀ + θ ∆x), если:   а) f(x) = ax² + bx + c,   a ≠ 0;   б) f(x) = x³;   в) f(x) = 1/x;   г) f(x) = e^x.