Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





Отделка дома фасадными панелями фасадные панели для наружной отделки ru-complect.ru.
     Примеры решения задач / Дифференциальное исчисление функций одной переменной / Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

решения других задач по данной теме


Пусть функция f имеет конечную производную f' в каждой точке конечного или бесконечного интервала ]a, b[ и . Доказать, что f'(c) = 0, где c - некоторая точка интервала ]a, b[.


Решение.

Пусть интервал ]a, b[ конечен и , C = const. Рассмотрим функцию

Она непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную производную на интервале ]a, b[, причем F(a) = F(b). По теореме Ролля на интервале ]a, b[ найдется такая точка c, что F'(c) = f'(c) = 0.

Если интервал ]a, b[ бесконечный, то, в силу существования конечной производной функции f, непрерывности функции f и существования конечных, равных между собой, ее предельных значений при xa + 0 и xb - 0, при достаточно малом ε > 0 прямая y = C + ε или прямая y = C - ε пересечет кривую y = f(x), по меньшей мере, в двух точках, которые обозначены c1 и c2. Для функции f на сегменте [c1, c2] выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому на интервале ]c1, c2[ (а значит, и на интервале ]a, b[ ) найдется такая точка c, что f'(c) = 0.

Рассмотрим теперь случай, когда . Тогда как в случае конечного, так и бесконечного интервала ]a, b[ уравнение f(x) = A (где A > 0 - любое число, фиксированное, когда ) или уравнение f(x) = -A (в случае, когда ) всегда имеет два различных корня, которые обозначим α1 и α2. Применяя теорему Ролля к функции f на сегменте [α1, α2], приходим к выводу, что на интервале ]α1, α2[ (а значит, и на ]a, b[ ) существует, по меньшей мере, одна такая точка c, что f'(c) = 0.


решения других задач по данной теме



© 2006-2024 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, логарифм , кардиоида , параболоид , лемниската

     Примеры решения задач: пусть функция f имеет конечную производную f' в каждой точке конечного или бесконечного интервала ]a, b[ ...