Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Группы, кольца и поля / Поле / 1 2 3 4 5 6


     Теорема 1. Поле не имеет делителя нуля (определение 2), т. е. если ab = 0, то либо a = 0, либо b = 0.

     Доказательство. Если ab = 0 и a ≠ 0, то, умножая обе части равенства на a -1, найдем 1 · b = a -1 · 0, т. е. b = 0.

     Итак, поле является кольцом без делителей нуля. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна. А именно:

     Теорема 2. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.

     Доказательство. Достаточно проверить свойство VII. Пусть a ≠ 0. Каждому элементу x кольца поставим в соответствие элемент y = ax. Если x1x2, то также y1xy, т. к. иначе ax1 = ax2 и x1 = x2 (теорема 2). Значит, xy есть взаимно однозначное отображение всего кольца R на некоторое его подмножество M, т. е. R ~ M. Но по теореме 1 конечное множество R не равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому R = M, т. е. для любого элемента существует в R элемент q такой, что qb, т. е. aq = b, что и доказывает VII.

     Так как все элементы поля, отличные от нуля, образуют по умножению коммутативную группу, то для любого элемента a ≠ 0 степень an определена при любом целом показателе n, причем справедливы обычные свойства степени (см. (3) - (5)).

     Для частного элементов любого поля верны те же правила оперирования, что и для обыкновенных дробей.

     Теорема 3. (Свойства частного)

     а) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то тогда и только тогда, когда ad = bc;

     б) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то ;

     в) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то ;

     г) Если b ≠ 0, с ≠ 0, d ≠ 0, то .


-1-2-3-4-5-6-



© 2006- 2021  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, функции , теорема умножения вероятностей независимых событий

     Поле не имеет делителя нуля, всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем, свойства частного.