Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Группы, кольца и поля / Поле / 1 2 3 4 5 6


Значит, должно быть r = 0, так как r > 0 противоречит выбору p. Итак, k = pq, т. е. k делится на p, и если k отлично от p, оно не может быть простым. Значит, p - единственное простое число, для которого pe = 0.

     Эта теорема позволяет дать следующее определение:

     Характеристикой поля P называется число 0, если na ≠ 0 для любого элемента a ≠ 0 и любого целого числа n ≠ 0 и простое число p такое, что pa = 0 для любого элемента a в противном случае.

     Так как для числа 1 и любого целого n будет n · 1 = n, то все числовые поля имеют характеристику 0.

     Пример поля характеристики p > 0. Пусть n - любое натуральное число, больше единицы. Тогда все целые числа могут быть разбиты на классы, так что к одному классу принадлежат все числа, дающие при делении на n один и тот же остаток. Если класс чисел, дающих при делении на n остаток r, обозначить через (r), то получим всего n различных классов: (0), (1), (2), ..., (n - 1). Очевидно, что два числа a и b тогда и только тогда принадлежат к одному классу, когда их разность a - b делится на n (по существу мы имеем здесь дело со сравнениями по модулю n). Пусть Cn - множество всех определенных таким образом классов целых чисел. Определим в Cn операции сложения и умножения. Если (r) и (s) - два класса, причем класс (r) содержит число a и (s) - число b, то суммой (r) + (s) данных классов назовем класс, содержащий число a + b, и произведением (r)·(s) - класс, содержащий число ab. Сумма и произведение классов определены однозначно, т. е. не зависят от выбора представителей a и b этих классов. В самом деле, если a и a' - два числа из класса (r) и b и b' - два числа из класса (s), то числа a - a' и b - b' делятся на n. Поэтому также

(a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b')

и

ab - a'b' = (ab - a'b) + (a'b - a'b') = (a - a')b + a'(b - b')

делятся на n. Но это значит, что числа a + b и a' + b' принадлежат к одному классу и то же верно для чисел ab и a'b'.

     Свойства кольца I-VI (определение 1) для классов автоматически выполняются, так как эти свойства верны для целых чисел, и операции над классами определены через операции над представителями. Итак, Cn является кольцом. Оно называется кольцом вычетов по модулю n. Нулем кольца Cn является, очевидно, класс (0), состоящий из всех чисел, делящихся на n.

     Если n = kl - число составное, то кольцо Cn содержит делитель нуля, так как (k) ≠ (0) и (l) ≠ (0), но (k)·(l) = (0). Если же n = p - число простое, то кольцо Cp не имеет делителей нуля, так как, если (r)·(s) = (0), то rs делится на p, и значит, либо r, либо s делится на p, т. е. либо (r) = 0, либо (s) = 0.

     Так как кольцо Cp содержит p элементов и, значит, конечно, то по теореме 2 оно будет полем. Класс p(r) содержит число pr, делящееся на p. Поэтому p · (r) = (0) для любого класса (r) поля Cp.

     Значит, p - характеристика поля Cp.


-1-2-3-4-5-6-



© 2006- 2022  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, множества , точка разрыва первого рода

     Характеристика поля, пример поля характеристики p>0, кольцо вычетов по модулю n.