решения некоторых задач

     n-кратный интеграл от функции f(x₁, x₂, ..., x_n) по параллелепипеду R определяется как предел интегральных сумм при стремлении к нулю длины наибольшей из диагоналей частичных n-мерных параллелепипедов.

     Как и для случая n = 2, теория Дарбу устанавливает необходимое и достаточное условие интегрируемости в следующей форме: для интегрируемости функции f в параллелепипеде R необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось разбиение T параллелепипеда R, для которого разность верхней и нижней сумм была меньше ε.

     После этого легко определить n-кратный интеграл от функции f по произвольной замкнутой ограниченной n-мерной области D, граница которой имеет n-мерный объем нуль.

     Этот интеграл определяется как интеграл по содержащему область D n-мерному прямоугольному параллелепипеду R (с ребрами, параллельными координатным осям) от функции F, совпадающей с f в области D и равной нулю вне D.

     Для обозначения n-кратного интеграла от функции f(x₁, x₂, ..., x_n) по области D естественно использовать символ

     (1)

     Однако для сокращения записи там, где это не будет вызывать недоразумений, мы будем обозначать интеграл (1) кратким символом

     (1')

     При краткой записи (1') под символом x следует понимать точку x = (x₁, x₂, ..., x_n) пространства Eⁿ, под символом dx - произведение dx = dx₁dx₂ ... dx_n^*, а под знаком - n-кратный интеграл по n-мерной области D.

     Точно так же, как и для случая n = 2, доказывается интегрируемость по n-мерной области D любой функции f, обладающей в области D I-свойством (т. е. ограниченной в области D функции, все точки разрыва которой принадлежат элементарному телу как угодно малого n-мерного объема). Вообще изменение интегрируемой функции f на множестве точек n-мерного объема нуль не изменяет величины интеграла от этой функции.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-

^*   Это произведение обычно называют элементом объема в пространстве Eⁿ.