Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Формулы / Множества / Конечные и бесконечные множества / 1 2 3 4 5 6 7 8
Среди всех бесконечных множеств счетные множества являются наименьшими в следующем смысле: Теорема 6. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество. Доказательство. Пусть M - бесконечное множество. Тогда
и можно выбрать элемент
Он отличен от всех ранее выбранных элементов. По принципу индукции доказано, что для любого n существует в M подмножество An = {a1, a2, ..., an} из n элементов, причем множество An+1 получается из An присоединением одного нового элемента an+1. Очевидно, что объединение
является счетным подмножеством M. Теперь легко доказать, что свойство конечного множества не иметь равномощного ему собственного подмножества (см. теорему 1) для бесконечных множеств никогда не выполняется. Именно имеет место Теорема 7. Всякое бесконечное множество M равномощно некоторому собственному подмножеству. Доказательство. Согласно теореме 6 множество M содержит счетное подмножество A = {a1, a2, ..., an, ...}. |
. выберем какой-нибудь из его элементов и обозначим его через a1. Пусть в M уже выбраны n различных между собою элементов a1, a2, ..., an. Так как M бесконечно, то
