Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Множества / Конечные и бесконечные множества / 1 2 3 4 5 6 7 8


     Предположим, что теорема доказана для натурального числа n, и докажем ее для числа n+1. Итак, пусть A~|1, n+1|, и f есть взаимно однозначное отображение A на B. Занумеровав элементы A соответствующими им числами, получим:

A = {a1, a2, ..., an+1}.

     Для B = 0 утверждение справедливо. Если , то без ограничения общности можно предположить, что . Иначе берем элемент и строим новое множество B1, полученное из B заменой элемента b на an+1, и новое отображение f1, которое совпадает с f для всех элементов множества A, кроме элементов a со свойством f(a) = b, причем для этого элемента a полагаем f1(a) = an+1. Тогда f1 будет взаимно однозначным отображением A на собственное подмножество B1, содержащее an+1. Далее, без ограничения общности можно считать, что f(an+1) = an+1. Иначе пусть f(ai) = an+1 и f(an+1) = aj. Тогда строим новое отображение f1, совпадающее с f для всех элементов A, кроме ai и an+1, причем полагаем f1(ai) = aj и f1(an+1) = an+1. Итак, пусть и f(an+1) = an+1, пусть также A' = A\{an+1} и B' = B\{an+1}. Так как B - собственное подмножество A, то существует элемент . Так как , то . Поэтому . Значит, B' есть собственное подмножество A'. Так как f(an+1) = an+1, то отображение f устанавливает равномощность множеств A' и B', но A' = {a1, a2, ..., an} ~ |1, n|. Мы получили противоречие с предположением индукции, чем наше утверждение, а значит, и вся теорема доказаны.

     Из теоремы 1 легко следует

     Теорема 2. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

     По определению конечного множества непустое конечное множество A равномощно по крайней мере одному отрезку натурального ряда. Если бы оно было равномощно двум различным отрезкам , то по свойствам равномощности будет: |1, m| ~ |1, n|, что противоречит теореме 1, так как один из двух различных отрезков натурального ряда является собственным подмножеством другого.

     Однозначно определенное для данного непустого конечного множества A натуральное число n такое, что A ~ |1, n|, называется числом элементов множества A. Числом элементов пустого множества называется число 0.

     Из свойств равномощности следует, что два конечных множества тогда и только тогда равномощны, когда они имеют одно и то же число элементов. Поэтому число элементов можно принять за определение мощности конечного множества.


-1-2-3-4-5-6-7-8-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, вектор , единица группы

     Теорема: всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда, число элементов множества.