Доказательство. Условие эрмитовой симметрии равносильно тому, что

a(l, m) + ib(l, m) = a(m, l) - ib(m, l),

т. е. симметрии a и антисимметрии b. Условие равносильно i-инвариантности a и b. Условие C-линейности g по первому аргументу означает R-линейность и линейность относительно умножения на i, т. е.

a(il, m) + ib(il, m) = g(il, m) = ig(l, m) = - b(l, m) + ia(l, m),

откуда следуют соотношения б) и утверждение в). Наконец, g(l, l) = a(l, l) в силу антисимметрии b, откуда следует г).

3. Следствие. В прежних обозначениях, если g положительно определена и {e₁, ..., e_n - ортонормированный базис для g, то {e₁, ..., e_n, ie₁, ..., ie_n является ортонормированным базисом для a и симплектическим для b.

Наоборот, если L - 2n-мерное вещественное пространство с евклидовой формой a и симплектической b, а также базисом {e₁, ..., e_n, e_n+1, ..., e_2n, ортонормированным для a и симплектическим для b, то, введя на L комплексную структуру с помощью оператора

и скалярное произведение g(l, m) = a(l, m) + ib(l, m), получим комплексное пространство с положительно определенной эрмитовой формой, для которого {e₁, ..., e_n является ортонормированным базисом над C.

Доказательство получается простой проверкой с помощью предложения п. 2.

Вернемся теперь к унитарным пространствам L. Комплексное неравенство Коши-Буняковского-Шварца имеет следующий вид:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-