Аналогично, если (L, J) - вещественное пространство с комплексной структурой, оператор -J также определяет комплексную структуру, которая называется сопряженной с исходной. В обозначениях теоремы п. 7, если - комплексное пространство, отвечающее (L, J), то - комплексное пространство, отвечающее (L, -J).

13. Сначала овеществление, потом комплексификация. Теперь можем для всякого комплексного линейного пространства L построить канонический комплексно линейный изоморфизм.

С этой целью заметим, что на (L₂)^C имеются два вещественно линейных оператора: оператор канонической комплексной структуры J(l₁, l₂) = (-l₂, l₁) и оператор умножения на i, отвечающий исходной комплексной структуре L: i(l₁, l₂) = (il₁, il₂). Так как J коммутирует с i, он комплексно линеен в этой структуре. Поскольку J² = -id, его собственные значения равны . Введем стандартные обозначения для двух подпространств, отвечающих этим собственным значениям:

Оба множества L^{1, 0} и L^{0, 1} являются комплексными подпространствами в (L₂)^C: ясно, что они замкнуты относительно сложения и умножения на вещественные числа, а замкнутость относительно умножения на J следует из того, что J и i коммутируют. Покажем, что , а также, что L^{1, 0} естественно изоморфно L, тогда как L^{0, 1} естественно изоморфно .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-