9. Замечания. а) Пусть L - комплексное пространство, g: L_R L_R - вещественно линейное отображение. Поставим вопрос, когда существует такое комплексно линейное отображение , что g = f_R. Очевидно, для этого необходимо, чтобы g коммутировал с оператором J естественной комплексной структуры на L_R, т. к. g(il) = g(Jl) = ig(l) = Jg(l) для всех . Это условие является также достаточным, потому что из него автоматически следует линейность g над C:

g((a + bi)l) = ag(l) + bg(il) = ag(l) + bgJ(l) =

= ag(l) + bJg(l) = (a + bJ)g(l) = (a + bi)g(l).

б) Пусть теперь L - четномерное вещественное пространство, - вещественно линейный оператор. Поставим вопрос, когда на L существует такая комплексная структура J, что f является овеществлением комплексно линейного отображения , где - комплексное пространство, построенное с помощью J. Вот частичный ответ, относящийся к случаю dim_R L = 2: такая структура существует, если f не имеет собственных векторов в L.

В самом деле, когда f имеет два комплексно сопряженных собственных значения . Положим . По теореме Гамильтона - Кэли, , откуда

Кроме того, J коммутирует с f. Это завершает доказательство.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-