Следовательно, оно комплексно линейно. Оно называется комплексификацией отображения f. Очевидно, id^C = id, (af + bg)^C = af^C + bg^C; a, b R; и (fg)^C = f^Cg^C. Рассматривая пару базисов L и M как базисы L^C и M^C соответственно, убеждаемся, что матрица отображения f в исходной паре базисов совпадает с матрицей отображения f^C в этой "новой" паре. В частности, (комплексные) собственные значения отображений f и f^C и их жордановы формы совпадают.

Проследим теперь, что происходит при композиции операций овеществления и комплексификации в двух возможных порядках.

11. Сначала комплексификация, затем овеществление. Пусть L - вещественное пространство. Утверждаем, что существует естественный изоморфизм

Действительно, по конструкции L^C совпадает с как вещественное пространство. Аналогично, (в смысле этого отождествления) для любого вещественного линейного отображения .

Композиция в обратном порядке приводит к несколько менее очевидному ответу. Введем следующее определение.

12. Определение. Пусть L - комплексное пространство. Сопряженным комплексным пространством называется множество L с той же структурой аддитивной группы, но с новым умножением на скаляры из C, которое временно обозначим :

для любых .

Аксиомы проверяются без труда, если воспользоваться тем, что и .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-