Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Конические сечения / Некоторые общие свойства конических сечений / 1 2 3 4 5 6


Рассмотрим треугольник и точку C. Из точки C стороны треугольника видны под углами φ1, φ2, φ3, для которых либо один равен сумме двух других (например, φ3 = φ1 + φ2), либо φ1 + φ2 + φ3 = 2π. В обоих случаях из этих соотношений между углами следует, что

cos2φ1 + cos2φ2 + cos2φ3 - 2cosφ1cosφ2cosφ3 - 1 = 0.

Подставляя сюда значения косинусов, вычисленных из треугольников с помощью теоремы косинусов, получим после упрощений

m2x4 + {m4 - 2[m2(a2 + b2 + c2 + d2) - 8abcd]}x2 + m2[a4 + b4 + c4 + d4 - 2(a2 + c2)(b2 + d2) - 2(a2c2 + b2d2) + 8abcd] - 16(ac - bd)(ad - bc)(ab - cd) = 0.

где x = AC.

     Если исходить из треугольника и точки D, то получим точно такое же биквадратное уравнение относительно y = BD. Два эллипса и две гиперболы определяют четыре четырехугольника, из которых имеются только два различных (заметим, что в наших рассуждениях участвуют только правые ветви гипербол g1 и g2). Поэтому два корня выписанного выше уравнения относительно x соответствуют диагоналям AC и AC1 четырехугольников ABCD и ABC1D1. Точно так же BD и BD1 равны двум корням уравнения с неизвестным y. Поэтому либо AC = BD, либо AC = BD1. Из свойств симметрии следует, что диагонали одного четырехугольника меньше соответствующих диагоналей другого четырехугольника, т. е. AC < AC1, BD < BD1, и поэтому AC + BD < AC1 + BD1. Если допустить, что AC = BD1, то BD = AC1 и AC + BD = AC1 + BD1, что противоречит предыдущему неравенству. Следовательно, равенство AC = BD1 необходимо отвергнуть и остается, что AC = BD, что и требовалось доказать.

     Аналогичным свойством обладают диагонали криволинейного четырехугольника, образованного двумя парами софокусных парабол.


-1-2-3-4-5-6-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, группа , спираль Корню

     Расстояния между противолежащими вершинами криволинейного четырехугольника ортогональной сети, образованной софокусными эллипсами и гиперболами, равны.