решения некоторых задач

     Замечание 1. В теореме 7 можно поменять ролями x и y, т. е. можно предположить, что выполнены следующие два условия: 1) область D такова, что любая прямая, параллельная оси Ox, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, абсциссы которых x₁(y) и x₂(y), где x₁(y) ≤ x₂(y) (см. Рис. 2); 2) функция f(x, y) допускает существование по области D двойного интеграла и существование для любого y однократного интеграла

     При выполнении этих двух условий существует повторный интеграл

(y₁ и y₂ - наименьшая и наибольшая ординаты точек области D) и справедливо равенство

     (19')

     Пример. Пусть область D - круг x² + y² ≤ R² (см. Рис. 3), а f(x, y) = x²(R² - y²)^3/2. Любая прямая, параллельная оси Ox, пересекает границу D не более чем в двух точках, абсциссы которых и (см. Рис. 3). Поэтому применяя формулу (19'), получим

     Замечание 2. В случае, если область D не удоволетворяет требованиям теоремы 7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей такого типа, не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл по области D, в силу свойства аддитивности, равен сумме интегралов по соответствующим областям. Так, область D, изображенную на Рис. 4, удается разбить на сумму трех областей D₁, D₂ и D₃, к каждой из которых применима теорема 7 или замечание 1.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-