Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы

решения других задач по данной теме


Вычислить тройной интеграл , где T - область, ограниченная поверхностью x2 + y2 + z2 = z.


Решение.

Область T представляет собой шар, ограниченный сферой, уравнение которой удобно записать в виде x2 + y2 + (z - 1/2)2 = 1/4 (см. Рис. 1, а).

Данный тройной интеграл можно вычислить с помощью повторного интегрирования в прямоугольных координатах:

Однако удобнее перейти к сферическим координатам (r, θ, φ):

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ,     (*)

причем переменная φ изменяется от 0 до 2π, а при каждом значении φ переменная θ изменяется от 0 до π/2. Подставляя выражения (*) в уравнение сферы, получим r2 = r cos θ, откуда r = 0 или r = cos θ. Эти две поверхности в пространстве (r, θ, φ) при 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θπ/2 ограничивают снизу и сверху область τ (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области T при отображении (*). Якобиан отображения (*) равен r2 sin θ, а подынтегральная функция в сферических координатах равна r. Вычисляя тройной интеграл по области τ с помощью повторного интегрирования, получаем

Отметим, что расстановку пределов интегрирования для переменной r можно произнести, рассматривая не область τ, а изменение r при фиксированных значениях φ и θ в области T. Наглядно видно, что на каждом луче φ = const, θ = const переменная r изменяется в шаре T от 0 (значение r в начале координат) до cos θ (значение r на сфере).


решения других задач по данной теме



© 2006-2021 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, тензор , минор , корень , корни

     Примеры решения задач: вычислить тройной интеграл, где T - область, ограниченная поверхностью x*x + y*y + z*z = z.