Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы

решения других задач по данной теме


В двойном интеграле , где G - круг, ограниченный окружностью x2 + y2 = 2x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O(0, 0) и вычислить полученный интеграл.


Решение.

Круг G изображен на Рис. 1, а.

Уравнения, связывающие (x, y) и полярные координаты (ρ, φ) с полюсом в точке O(0, 0), имеют вид

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ,     (1)

причем наглядно видно, что в качестве промежутка изменения φ можно взять сегмент -π/2 ≤ φπ/2. Подставляя выражения (1) в уравнение окружности, получим ρ2 = 2ρ cos φ, откуда ρ = 0 или ρ = 2 cos φ. Эти две кривые на плоскости (ρ, φ) при -π/2 ≤ φπ/2 ограничивают область g (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области G при отображении (1). Якобиан отображения (1) равен ρ. Отметим, что на границе ρ = 0 области g, однако формула

     (2)

замены переменных применима. Подынтегральная функция x2 + y2 в новых переменных равна ρ2. По формуле (2) имеем

Полученный двойной интеграл по области g сводим к повторному:

     (3)

и вычисляем повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

Замечание 1. Расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле (3) можно произвести, рассматривая не область g, а изменение полярных координат в исходной области G. На Рис. 1(в) видно, что при каждом значении φ из промежутка [-π/2, π/2] переменная ρ изменяется от 0 (значение ρ в полюсе) до 2 cos φ (значение ρ на окружности, уравнение которой в полярных координатах имеет вид ρ = 2 cos φ). Таким образом, пределы интегрирования по φ - от -π/2 до π/2, а по ρ - от 0 до 2 cos φ.

Замечание 2. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке O(0, 0), а в точке A(1, 0) (центре круга), т. е. по формулам x - 1 = ρ cos φ, y = ρ sin φ, то прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая область) σ = {(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π} (см. Рис. 1, г). Выражение для подынтегральной функции примет вид x2 + y2 = 1 + 2ρ cos φ + ρ2. В этом случае, используя формулу (2) и сводя двойной интеграл к повторному, получим


решения других задач по данной теме



© 2006-2018 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, уравнения , многоугольник , предел , синус

     Примеры решения задач: в двойном интеграле, где G - круг, ограниченный окружностью x*x + y*y = 2x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O(0, 0) и вычислить полученный интеграл.