Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Дифференциальное исчисление функций одной переменной / Дифференциал функции / 1 2

решения некоторых задач

Дифференциал функции


Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E, если ее приращение Δf(x0), соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде

Δf(x0) = A(x0)(x - x0) + ω(x - x0),     (1)

где ω(x - x0) = о(x - x0) при xx0.

Отображение , называется дифференциалом функции f в точке x0, а величина A(x0)h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df(x0), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df(x0) = A(x0)h.

Разделив в (1) на x - x0 и устремив x к x0, получим A(x0) = f'(x0). Поэтому имеем

df(x0) = f'(x0)h.     (2)

Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df(x0) (при f'(x0) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x0, линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x0.


Критерий дифференцируемости функции

Для того чтобы функция f являлась дифференцируемой в данной точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.


Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x0) = f'(x0)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.


решения некоторых задач


-1-2-



© 2006-2017 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, арктангенс , эпициклоида , экстремум , кардиоида

     Функция, дифференцируемая в точке, дифференциал функции, значение дифференциала. Критерий дифференцируемости функции, инвариантность формы первого дифференциала.