Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Площадь плоской фигуры / 1 2 3 4 5 6 7

     Площадь криволинейной трапеции

     Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте [a, b] непрерывной и неотрицательной фукнции f(x), ординатами, проведенными в точках a и b, и отрезком оси Ox между точками a и b (см. Рис. 2).

     Докажем следующее утверждение.

     Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь P которой может быть вычислена по формуле

     (1)

     Доказательство. Так как непрерывная на сегменте [a, b] функция интегрируема, то для любого положительного числа ε можно указать такое разбиение T сегмента [a, b], что разность S - s < ε, где S и s - соответственно верхняя и нижняя суммы разбиения T. Но S и s равны соответственно Sd и Si, где Sd и Si - площади ступенчатых фигур (многоугольников), первая из которых содержит криволинейную трапецию, а вторая содержится в криволинейной трапеции (на Рис. 2 изображены также и указанные ступенчатые фигуры). Так как Sd - Si < ε, то, в силу теоремы 1, криволинейная трапеция квадрируема. Поскольку предел при Δ → 0 верхних и нижних сумм равен и sPS, то площадь P криволинейной трапеции может быть найдена по формуле (1).

     Замечание. Если функция f(x) непрерывна и неположительна на сегменте [a, b], то значение интеграла равно взятой с отрицательным знаком площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), ординатами в точках a и b и отрезком оси Ox между точками a и b. Поэтому, если f(x) меняет знак, то равен сумме взятых с определенным знаком площадей криволинейных трапеций, расположенных выше и ниже оси Ox, причем площади первых берутся со знаком +, а вторых со знаком -.


-1-2-3-4-5-6-7-



© 2006- 2014  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многоугольники ,

     Площадь криволинейной трапеции.