Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





https://avroramodels.info/myrmansk/ знакомства для мужчин . Мечта - станок Смита на proizvedenie-sporta.com/ надежен, доступен, функционален, разбирается легко.
     Формулы / Площадь плоской фигуры / 1 2 3 4 5 6 7

     Площадь криволинейного сектора

     Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r = r(θ), αθβ (см. Рис. 3), причем функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на сегменте [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором.

     Докажем следующее утверждение. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь P которой может быть вычислена по формуле

     (2)

     Доказательство. Рассмотрим разбиение T сегмента [α, β] точками α = θ0 < θ1 < ... < θn = β и для каждого частичного сегмента [θi-1, θi] построим круговые секторы, радиусы которых равны минимальному ri и максимальному Ri значениям r(θ) на сегменте [θi-1, θi]. В результате получим две веерообразные фигуры, первая из которых содержится в криволинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор (эти веерообразные фигуры изображены на Рис. 3). Площади и указанных веерообразных фигур равны соответственно и . Отметим, что первая из этих сумм является нижней суммой s для функции для указанного разбиения T сегмента [α, β], а вторая сумма является верхней суммой S для этой же функции и этого же разбиения. Так как функция интегрируема на сегменте [α, β], то разность может быть как угодно малой. Например, для любого фиксированного ε > 0 эта разность может быть сделана меньше ε/2. Впишем теперь во внутреннюю веерообразную фигуру многоугольник Qi с площадью Si, для которого , и опишем вокруг внешней веерообразной фигуры многоугольник Qd площадью Sd, для которого *. Очевидно, первый из этих многоугольников вписан в криволинейный сектор, а второй описан вокруг него. Так как справедливы неравенства

     (3)

то, очевидно, Sd - Si < ε. В силу произвольности ε, отсюда вытекает квадрируемость криволинейного сектора. Из неравенств (3) вытекает справедливость формулы (2).


-1-2-3-4-5-6-7-


   ___________________________________

*   Рассматриваемые веерообразные фигуры состоят из круговых секторов. Каждый сектор квадрируем, и поэтому квадрируемы и веерообразные фигуры. Поэтому для этих фигур можно найти многоугольники, площади Si и Sd которых удовлетворяют указанным неравенствам.



© 2006- 2024  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, конус ,

     Площадь криволинейного сектора.