Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





Ищите где заказать проект организации сноса и демонтажа? Звоните нам!
     Формулы / Площадь плоской фигуры / 1 2 3 4 5 6 7

     Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью . При этом число называется площадью фигуры Q.

     Справедлива следующая теорема.

     Теорема 1. Для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность Sd - Si площадей которых была бы меньше ε, Sd - Si < ε.

     Доказательство.

     1) Необходимость. Пусть фигура Q квадрируема, т. е. . Так как и - точные верхняя и нижняя грани множеств {Si} и {Sd}, то для любого числа ε > 0 можно указать такой вписанный в фигуру Q многоугольник, площадь Si которого отличается от меньше чем на ε/2, т. е. P - Si < ε/2. Для этого же ε > 0 можно указать такой описанный многоугольник, площадь Sd которого отличается от меньше чем на ε/2, т. е. Sd - P < ε/2. Складывая полученные неравенства, найдем, что Sd - Si < ε.

     2) Достаточность. Пусть Sd и Si - площади многоугольников, для которых Sd - Si < ε. Так как , то . В силу произвольности ε отсюда вытекает, что . Таким образом, фигура квадрируема. Теорема доказана.

     Будем говорить, что граница плоской фигуры Q имеет площадь, равную нулю, если для любого положительного ε > 0 можно указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность Sd - Si площадей которых меньше ε. Очевидно, теорему 1 можно также сформулировать следующим образом.

     для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь, равную нулю.

     Замечание. Во всех приведенных нами рассуждениях вместо плоской фигуры можно рассматривать произвольное множество точек плоскости.


-1-2-3-4-5-6-7-



© 2006- 2024  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, пропорции ,

     Квадрируемая плоская фигура, теорема. Граница плоской фигуры имеет площадь, равную нулю, если...