Одним из стимулов развития и систематизации геометрии явилась ее связь с теорией групп. Ф. Клейн в эрлангенской программе так определил содержание геометрии: дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы. Например, теория инвариантов ортогональной группы определяет евклидову геометрию. В такую классификацию хорошо укладываются также аффинная геометрия, конформная геометрия, проективная геометрия. Но риманова геометрия не может быть определена таким образом. В связи с этим Э. Картан ввел пространства, в которых соответствующая группа преобразований действует только локально, в бесконечно малой окрестности; таковы римановы пространства и пространства с различной связностью. Групповой подход с точки зрения непрерывных групп преобразований был предложен С. Ли.

Параллельно в конце 19 века развивался логический анализ основ геометрии. Выяснение непротиворечивости, минимальности и полноты систем аксиом геометрии суммировано Д. Гильбертом в книге «Основания геометрии».

Современное понимание пространства как непрерывной совокупности однородных объектов (явлений, состояний, фигур, функций) обусловлено глубокой взаимосвязью геометрии с другими областями математики. Наиболее отчетливо эта связь проявилась в развитии геометрии в 20 веке, когда геометрия стала широко разветвленной, а ее границы в связи с усилением единства математики стали менее четкими. Теперь пространство в математике понимается как множество, снабженное некоторой структурой, т. е. некоторыми отношениями между его элементами или подмножествами. Изучение простейшей весьма общей структуры, позволяющей говорить о непрерывности, привело к выделению из геометрии большой самостоятельной части математики – топологии. Геометрия предполагает наличие более богатых структур. При использовании аналитического аппарата дополнительные структуры (связности, метрики, конформные и симплектические структуры и т. п.) задают обычно с помощью тензорных (в частности – векторных) или иных полей.

-1-2-3-4-5-