Совершенно новый подход к решению геометрических вопросов был предложен в 1-й половине 17 века Р. Декартом. Им был создан метод координат, позволивший привлечь в геометрию методы алгебры, а в последующем и анализа. Начиная с этого момента геометрия бурно развивается. Появляется аналитическая геометрия, в которой методами алгебры исследуются кривые и поверхности, задаваемые алгебраическими уравнениями. Применение в 18 веке Л. Эйлером и Г. Монжем методов математического анализа в геометрии заложило основы классической дифференциальной геометрии. Ее ведущие разделы: теория кривых и теория поверхностей – интенсивно развивалась и обобщалась в работах К. Гаусса и др. геометров. В результате взаимодействия геометрии с алгеброй и анализом в дальнейшем возникли специальные исчисления, удобные для использования в геометрии и других разделах математики (векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм).

Разделы геометрии, не опирающиеся на методы алгебры и анализа и оперирующие непосредственно с геометрическими образами, получили название синтетической геометрии.

Предмет, основные разделы геометрии, связь с другими областями математики.

Свои первоначальные шаги геометрия делала как физическая наука, ее первые результаты описывали свойства физически наблюдаемых величин. Затем, до 2-й половины 19 века, предметом геометрии были отношения и формы тел пространства, свойства которого определялись аксиомами, сформулированными Евклидом. Пространство Евклида столь хорошо отражает простейшие физические наблюдения, что до 19 века оно как бы отождествлялось с физическим пространством. В 1826 Н. И. Лобачевский построил геометрию, в основу которой была положена система аксиом, отличающаяся от системы аксиом Евклида только аксиомой о параллельных прямых. В результате появилась логически непротиворечивая геометрия, существенно отличная от евклидовой. Стало ясно, что в математике возможно построение разнообразных пространств с содержательной геометрией. Наряду с этим сложилась идея многомерного пространства. Следующим новым шагом в геометрии была идея Б. Римана, который в 1854 сформулировал обобщенное понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений и ввел пространства, измерение расстояний (метрика) в которых производится по некоторому заданному закону «бесконечно малыми шагами». Иными словами, задается определенная функция, которая выражает длину пути точки через дифференциалы координат при малом ее смещении. Развитие идеи Римана привело к дальнейшим разнообразным обобщениям способов задания метрики и рассмотрению геометрии соответствующих пространств. При исследовании физического пространства, различных механических систем или вообще систем каких-либо однородных физических объектов выбор подходящего математического пространства и сопоставление его элементов объектам изучаемой системы зависят от характера этой системы. Качество такого математического моделирования проверяется опытом. Разные объекты или одни и те же объекты при разной детальности исследования могут требовать разных пространств. В общей физической теории пространства-времени-тяготения используется одна из разновидностей римановой геометрии.

-1-2-3-4-5-