Линейные (или векторные) пространства над полем можно трактовать как универсальные алгебры с одной бинарной операцией – сложением и набором унарных операций – умножений на скаляры из основного поля. Рассматриваются также линейные пространства над телами. Если за множество скаляров взять кольцо, то получается более широкое понятие модуля. Изучению линейных пространств, модулей, а также их линейных преобразований и смежным вопросам посвящен важный раздел алгебры – линейная алгебра, частью которой являются сформировавшиеся еще в 19 веке теория линейных уравнений и теория матриц. К линейной алгебре тесно примыкает полилинейная алгебра.

Первые работы по общей теории произвольных универсальных алгебр относятся к 30-м годам 20 века и принадлежит Г. Биркгофу. В те же годы А. И. Мальцев и А. Тарский заложили основы теории моделей, т. е. множеств с отмеченными на них отношениями. В дальнейшем теория универсальных алгебр и теория моделей столь тесно переплелись между собой, что привели к возникновению новой дисциплины, пограничной между алгеброй и математической логикой, - теории алгебраических систем, изучающей множества с определенными на них алгебраическими операциями и отношениями.

Ряд дисциплин, пограничных между алгеброй и другими частями математики, определяется внесением в универсальные алгебры дополнительных структур, согласованных с алгебраическими операциями. Сюда относятся топологическая алгебра, в том числе теория топологических групп и Ли групп, теория нормированных колец, дифференциальная алгебра, теории различных упорядоченных алгебраических образований. К середине 50-х годов 20 века оформилась в самостоятельную дисциплину гомологическая алгебра, уходящая своими истоками как в алгебру, так и в топологию.

-1-2-3-4-5-