Имелось в виду отыскание формул, выражающих корни уравнения через его коэффициенты при помощи сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения корней («решение в радикалах»). С древнейших времен математики умели решать уравнения 1-й и 2-й степеней. В 16 веке существенное продвижение было сделано итальянскими математиками – сначала была найдена формула для решения уравнений 3-й степени, а затем и метод решения уравнения 4-й степени. В течении почти трех последующих столетий продолжались безуспешные попытки найти аналогичные формулы для решения уравнений высших степеней, в связи с чем приобрела большой интерес задача найти хотя бы «бесформульное» доказательство существования комплексного корня для произвольного алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами. Эта теорема была впервые высказана в 17 веке А. Жираром, но первое строгое доказательство ее дал К. Гаусс в конце 18 века. Наконец, в 1824 Н. Абель установил, что уравнения выше 4-й степени в общем случае в радикалах не разрешимы, а в 1830 Э. Галуа указал общий критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Другие задачи отходят в это в это время на второй план, и под алгеброй понимается «анализ уравнений», как отмечает Ж. Серре в своем курсе высшей алгебры. Наряду с теорией алгебраических уравнений с одним неизвестным развивается теория систем алгебраических уравнений с несколькими неизвестными, в частности систем линейных уравнений. В связи с исследованием последних возникают понятия матрицы и определителя. В дальнейшем матрицы становятся предметом самостоятельной теории – алгебры матриц, роль которой не исчерпывается применением к исследованию систем линейных уравнений.

Начиная с середины 19 века, центр тяжести в алгебраических исследованиях постепенно перемещается с теории уравнений на изучение произвольных алгебраических операций. Первоначальные попытки аксиоматического изучения алгебраических операций можно проследить уже в «теории отношений» Евклида, однако они не получили развития из-за невозможности геометрически интерпретировать даже простейшие действия над числами как отношениями длин или площадей. Дальнейший прогресс оказался возможным только после постепенного расширения и углубления понятия числа, а также в результате появления разнообразных примеров алгебраических операций над объектами совсем иной природы, нежели числа, - первыми такими примерами явились «композиция двоичных квадратичных форм» К. Гаусса и умножение подстановок П. Руффини и О. Коши. Явное выделение абстрактного понятия алгебраической операции было сделано в середине 19 века в связи с исследованиями природы комплексных чисел. Возникают алгебра логики Дж. Буля, внешние алгебры Г. Грассмана, кватернионы У. Гамильтона. А. Кэли создает матричное исчисление, К. Жордан публикует большой трактат о группах подстановок. Эти работы подготовили вступление алгебры в конце 19 – начале 20 веков в современный этап ее развития, характеризующийся объединением ранее разрозненных алгебраических идей на общей аксиоматической основе и существенным расширением области приложений алгебры. Современная точка зрения на алгебру как на общую теорию алгебраических операций сформировалась в начале 20 века под влиянием работ Д. Гильберта, Э. Штейница, Э. Артина, Э. Нётер и окончательно утвердилась с выходом в 1930 монографии Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра».

-1-2-3-4-5-