Предмет, основные разделы алгебры, связь с другими областями математики.

Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями, рассматриваемые с точностью до изоморфизма. Последнее означает, что природа множеств – носителей алгебраических операций с точки зрения алгебры безразлична, и в этом смысле подлинным объектом изучения являются сами алгебраические операции.

Фактическому изучению долгое время подвергались сравнительно немногие основные типы универсальных алгебр, естественно выделившиеся в ходе развития математики и ее приложений.

Один из наиболее важных и наиболее изученных типов алгебр – группы, т. е. алгебры с одной ассоциативной бинарной операцией, содержащие единицу и для каждого элемента – обратный элемент. Понятие группы явилось исторически первым примером универсальной алгебры и послужило во многих отношениях образцом при перестройке алгебры и, вообще, математики на рубеже 19-20 веков. Значительно позже началось самостоятельное изучение таких обобщений групп, как полугруппы, квазигруппы и лупы. Важнейшие типы алгебр с двумя бинарными операциями – кольца и поля. Операции в них обычно называются сложением и умножением. Кольцо определяется аксиомами абелевой группы для сложения и законами дистрибутивности для умножения относительно сложения. Первоначально изучались лишь кольца с ассоциативным умножением, и это требование ассоциативности иногда даже включает в определение кольца. В настоящее время вполне сложившимся является общее направление, посвященное изучению неассоциативных колец. Телом называется ассоциативное кольцо, все отличные от нуля элементы которого образуют группу по умножению. Поле – тело с коммутативным умножением. Числовые поля, т. е. совокупности чисел, замкнутые относительно сложения, умножения, вычитания и деления на число, отличное от нуля, неявно фигурировали уже в начальных исследованиях по алгебраическим уравнениям. Ассоциативно-коммутативные кольца и поля являются основными объектами изучения коммутативной алгебры, с которой тесно связана алгебраическая геометрия.

Другой важный тип алгебр с двумя бинарными операциями – решетки. Типичные примеры решеток: система подмножеств данного множества с операциями теоретико-множественного объединения и пересечения, множество положительных целых чисел с операциями взятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя.

-1-2-3-4-5-