решения других задач по данной теме

Легко заметить, что полученное уравнение (Е) действительно значительно проще исходного: в нем нет первой степени текущей координаты x₁ и нет свободного члена.

Таким образом, требование задачи выполнено: 1) преобразованное уравнение не содержит члена с первой степенью абсциссы и 2) оно не содержит свободного члена.

Полученное уравнение есть уравнение параболы, вершина которой находится в новом начале координат - точке . Мы можем сделать такое заключение: графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c при является парабола, вершина которой находится в точке , а ее ось симметрии параллельна оси Oy. Для построения этой параболы следует:

1) определить координаты ее вершины O₁;

2) точку O₁ принять за новое начало координат и через нее провести координатные оси O₁x₁ и O₁y₁, параллельные первоначальным осям координат и одинаково с ними направленные;

3) в новой системе координат построить параболу .

Не следует запоминать координаты вершины параболы - формулы (С), а проделывать каждый раз указанные простые выкладки. Решение последующих задач основано на выделении полного квадарата из квадратного трехчлена, а потому эта операция должна быть хорошо усвоена. После решения нескольких задач эти преобразования не будут вызывать никаких затруднений.

Решенная нами задача иногда формулируется иначе: уравнение кривой y = ax² + bx + c () упростить так, чтобы в нем отсутствовал член с первой степенью текущей координаты и свободный член, а иногда и еще короче: привести уравнение кривой y = ax² + bx + c к каноническому виду. В дальнейшем мы будем пользоваться и этими формулировками. После того как показано, что уравнение y = ax² + bx + c определяет параболу, можно заключить: упрощение этого уравнения достигнуто параллельным переносом первоначальной системы координат так, что новое начало координат находится в вершине параболы, а новая координатная ось O₁y₁ совпадает с осью симметрии параболы.

Следует также иметь в виду, что если в уравнении y = ax² + bx + c коэффициент a положителен, то ветвь параболы направлена вверх (так называемая "восходящая" парабола), а при отрицательном a - вниз ("нисходящая" парабола).

Форма параболы определяется только коэффициентом a. Числа b и c на форму параболы влияния не оказывают, и изменение их при одном и том же a влияет только на расположение параболы на плоскости. Заметим также, что чем больше a по абсолютной величине, тем сильнее парабола прижата к оси симметрии; наоборот, чем меньше a по абсолютной величине, тем "шире" будет парабола.

-1-2-3-

решения других задач по данной теме