решения других задач по данной теме

Вычислить интеграл с помощью приближенной формулы средних прямоугольников, взяв n = 10.

Решение.

Подставим точки

в функцию

     Результаты таковы:

f(x_1/2) = 0,9524,     f(x_11/2) = 0,6452,
f(x_3/2) = 0,8696,     f(x_13/2) = 0,6061,
f(x_5/2) = 0,8000,     f(x_15/2) = 0,5714,
f(x_7/2) = 0,7407,     f(x_17/2) = 0,5405,
f(x_9/2) = 0,6897,     f(x_19/2) = 0,5128,

     Ошибка, происходящая от округления, в каждом слагаемом меньше, чем 0,00005. Значит, сумма подсчитана с ошибкой, меньшей чем 0,0005, а величина получается с ошибкой, меньшей чем 0,00005. С другой стороны, остаточный член формулы прямоугольников оценивается числом (37). В нашем случае , и потому можно взять K = 2, откуда следует, что ошибка формулы меньше, чем

     Кроме того, в этом примере можно учесть еще, что знак f"(x) положительный. Таким образом, ошибка R формулы удовлетворяет неравенству

0 < R < 0,00084,

а суммарная ошибка лежит между пределами

- 0,00005     и     + 0,00089.

     Замечая, что интересующий нас интеграл равен ln 2, находим:

0,69279 < ln 2 < 0,69373.

     Значит, и подавно ln 2 = 0,693 (±0,001).

     Совершенно аналогично, применяя формулу (36) при достаточно большом n к интегралу

мы сможем вычислить логарифм любого положительного числа N с любой нужной нам точностью (и оценить погрешность!). Таким образом, располагаем теперь эффективным способом составления логарифмических таблиц. В пункте Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов показан еще и другой подход к этому вопросу.

решения других задач по данной теме