Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





Заказать панорамные двери с гарантией в Краснодаре.
     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы

решения других задач по данной теме


Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников при n = 10.


Решение.

     Так как здесь рассматривается тот же промежуток [0, 1], что и в примере, и взято то же значение n, то точками xk+1/2 по прежнему являются точки

     Эти точки мы должны подставить в формулу

и выразить результаты с помощью десятичных дробей. Чтобы установить, с каким количеством знаков надо писать эти дроби, оценим, какую ошибку мы делаем в нашем примере, применяя формулу (36) при n = 10. У нас

     Ясно, что абсолютная величина этой дроби не больше*, чем 2. Значит, величина (37) в нашем примере равна . Вычисляя каждое значение f(xk+1/2) по правилу дополнения с четырьмя знаками после запятой, мы сделаем в этом значении ошибку, меньшую чем 0,00005. Значит, сложив десять таких значений, мы ошибаемся меньше чем на 0,0005.

     Эту сумму придется умножить на , а потому и ошибка ее уменьшится в десять раз.

     Таким образом, суммарная ошибка, происходящая и от погрешности формулы и от округления, будет все же меньше, чем 0,001.

     После этих замечаний можно перейти к вычислениям. Так как

f(x1/2) = 0,9975,     f(x11/2) = 0,7678,
f(x3/2) = 0,9780,     f(x13/2) = 0,7030,
f(x5/2) = 0,9412,     f(x15/2) = 0,6400,
f(x7/2) = 0,8909,     f(x17/2) = 0,5806,
f(x9/2) = 0,8316,     f(x19/2) = 0,5256,

то

и, стало быть,

Замечая, что значение этого интеграла есть , получаем

π = 3,1424 (±0,004).

Таким образом, вполне строго доказаны неравенства

3,138 < π < 3,147.

Как известно, на самом деле π = 3,14159.

     Рассмотренный пример имеет важное принципиальное значение, так как здесь мы видим практически применимый способ вычисления числа π (а ведь это одна из важнейших постоянных математики) с любой степенью точности (в пункте Разложение арктангенса и вычисление π изложены другие, более быстрые способы вычисления π).


решения других задач по данной теме

   ___________________________________

*   Действительно, .


© 2006-2024 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, экспонента , циклоида , система уравнений , эллипс

     Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников при n = 10.