решения других задач по данной теме

Доказать, что если f: E → F и , то справедливы равенства
         а) f ^-1(A ∩ B) = f ^-1(A) ∩ f ^-1(B);
         б) f ^-1(A\B) = f ^-1(A) \ f ^-1(B);
         в) f ^-1(A U B) = f ^-1(A) U f ^-1(B).

Решение.

а) Пусть , тогда , т. е. . Но тогда , а следовательно, . Таким образом, доказано включение

Для доказательства обратного включения предположим, что . Тогда ; отсюда , а поэтому и . Следовательно,

Из доказанных включений следует равенство .

б) Пусть , тогда , т. е. . Но тогда , а следовательно, . Таким образом,

Если же , то . Отсюда , т. е. . Но тогда , что доказывает справедливость включения

обратного доказанному выше. Из этих включений следует равенство .

в) Если , то . Отсюда , а тогда , т. е. . Таким образом,

Если же предположить, что , то и , или , откуда . Следовательно,

что вместе с обратным включением равносильно .

решения других задач по данной теме