Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы

решения других задач по данной теме


Найти ньютоновский потенциал поля тяготения однородного шара T радиуса R с плотностью ρ в точке A, находящейся на расстоянии d от центра шара (d > R).


Решение.

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром шара, а точка A лежала на положительной полуоси Oz. Тогда уравнение сферы, ограничивающей шар, примет вид x2 + y2 + z2 = R2, а точка A имеет координаты (0, 0, d). По формуле для ньютоновского потенциала имеем

Так как тело T - шар, то для вычисления тройного интеграла удобно перейти к сферическим координатам: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Прообразом шара T при этом отображении является прямоугольный параллелепипед τ = {(r, θ, φ): 0 ≤ rR, 0 ≤ θπ, 0 ≤ φ ≤ 2π}. Учитывая, что якобиан отображения равен r2sin θ, а , и сводя тройной интеграл по области τ к повторному, получим

где - масса шара.

Таким образом, однородный шар массы m создает в пространстве вне шара такое же поле тяготения, что и точечная масса m, помещенная в центр шара.


решения других задач по данной теме



© 2006-2021 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, матанализ , корень , корни , медиана

     Примеры решения задач: найти ньютоновский потенциал поля тяготения однородного шара T радиуса R с плотностью р в точке A, находящейся на расстоянии d от центра шара (d > R).