Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы

решения других задач по данной теме


Вычислить тройной интеграл , если область T ограничена поверхностями z = 0 и (z - 1)2 = x2 + y2.


Решение.

Область T представляет собой конус (см. Рис. 1, а).

Уравнение конической поверхности, ограничивающей область T, можно записать в виде , а саму область T представить следующим образом , где G - круг радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому данный тройной интеграл можно свести к последовательному вычислению трех определенных интегралов в прямоугольных координатах:

Однако удобнее перейти к цилиндрическим координатам (ρ, φ, z): x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z. Тогда прообраз круга G есть прямоугольник {(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π}, прообраз конической поверхности – плоская поверхность z = 1 - ρ, а прообраз области T - область τ, изображенная на Рис. 1, б. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен ρ, подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна ρ2(1 + sin2φ) - z. Сводя тройной интеграл по области τ к последовательному вычислению трех определенных интегралов, получим

     (*)

Отметим, что расстановку пределов интегрирования в цилиндрических координатах можно произвести, рассматривая не область τ, а изменение цилиндрических координат в области T. Наглядно видно, что в области G переменная φ изменяется от 0 до 2π, при каждом значении φ переменная ρ изменяется от 0 до 1, а для каждой точки (ρ, φ) области G переменная z изменяется в области T от 0 (значение z в области G) до (значение z на конической поверхности). Это позволяет расставить пределы интегрирования так, как сделано в равенстве (*).


решения других задач по данной теме



© 2006-2021 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, интеграл , тензор , матанализ , симметрия

     Примеры решения задач: вычислить тройной интеграл, если область T ограничена поверхностями z=0 и (z-1)*(z-1)=x*x+y*y.