решения других задач по данной теме

Вычислить тройной интеграл , если область T ограничена поверхностями z = 0 и (z - 1)² = x² + y².

Решение.

Область T представляет собой конус (см. Рис. 1, а).

Уравнение конической поверхности, ограничивающей область T, можно записать в виде , а саму область T представить следующим образом , где G - круг радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому данный тройной интеграл можно свести к последовательному вычислению трех определенных интегралов в прямоугольных координатах:

Однако удобнее перейти к цилиндрическим координатам (ρ, φ, z): x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z. Тогда прообраз круга G есть прямоугольник {(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π}, прообраз конической поверхности – плоская поверхность z = 1 - ρ, а прообраз области T - область τ, изображенная на Рис. 1, б. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен ρ, подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна ρ²(1 + sin2φ) - z. Сводя тройной интеграл по области τ к последовательному вычислению трех определенных интегралов, получим

     (*)

Отметим, что расстановку пределов интегрирования в цилиндрических координатах можно произвести, рассматривая не область τ, а изменение цилиндрических координат в области T. Наглядно видно, что в области G переменная φ изменяется от 0 до 2π, при каждом значении φ переменная ρ изменяется от 0 до 1, а для каждой точки (ρ, φ) области G переменная z изменяется в области T от 0 (значение z в области G) до (значение z на конической поверхности). Это позволяет расставить пределы интегрирования так, как сделано в равенстве (*).

решения других задач по данной теме