Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы

решения других задач по данной теме


Найти площадь фигуры G, ограниченной кривой (a > 0, b > 0).


Решение.

Так как левая часть уравнения кривой неотрицательна при любых x и y, то и правая часть должна быть неотрицательной, а значит, x и y должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, кривая расположена в I и III квадрантах, причем она симметрична относительно начала координат. В самом деле, если точка M(x, y) лежит на кривой, т. е. x и y удовлетворяют уравнению , то -x и -y также удовлетворяют этому уравнению, т. е. точка M'(-x, -y), симметричная точке M относительно начала координат, также лежит на кривой. Поэтому и вся фигура G состоит из двух частей, симметричных друг другу относительно начала координат. Найдем площадь S1 части фигуры, расположенной в I квадранте. Для этого удобно перейти к новым переменным - обобщенным полярным координатам. Они вводятся по формулам

x - x0 = βcosαφ, y - y0 = βsinαφ,     (*)

где x0, y0, a, b, α, β - некоторые числа, выбираемые в каждом конкретном случае из соображений удобства. Якобиан отображения (*) равен abαβ ρ2β-1sinα-1φ.

В данном случае удобно взять x0 = y0 = 0, α = 2, β = 1. Тогда левая часть уравнения будет равна ρ4 и уравнение примет вид

ρ4 = 4abρ2cos2φsin2φ,

откуда ρ = 0 или , причем 0 ≤ φπ/2 (I квадрант). Кривые ρ = 0 и (0 ≤ φπ/2) на плоскости (ρ, φ) ограничивают область g - прообраз части фигуры G, лежащей в I квадранте. Якобиан отображения (*) в данном случае равен 2abρsinφcosφ. По формуле

получаем

Искомая площадь фигуры G равна 2S1, т. е. .


решения других задач по данной теме



© 2006-2018 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, ряды , предел , синус , уравнение

     Примеры решения задач: найти площадь фигуры G, ограниченной кривой (x/a + y/b)^4 = 4xy (a > 0, b > 0).