Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Теорема Ферма / 1 2 3


Теорема Ферма

     Теорема Ферма, - утверждение, что для любого натурального числа n > 2 уравнение xn + yn = zn (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z. Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта "Арифметика" следующим образом: "невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". И далее добавил: "я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы". В бумагах Пьера Ферма нашли доказательство теоремы Ферма для n = 4. Нездоровый интерес к доказательству этой теоремы среди неспециалистов в области математики был в свое время вызван большой международной премией, аннулированной в конце первой мировой войны.

     Предполагается, что доказательство теоремы Ферма вообще не существовало.

     Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p > 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение

xp + yp = zp     (1)

не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых числах x, y, z. Можно также считать, что числа x и y взаимно просты с p. При доказательстве теоремы Ферма рассматривают два случая: первый случай, когда (xyz, p) = 1 и второй случай, когда p|z. Доказательство второго случая теоремы Ферма более сложно и обычно проводится методом бесконечного спуска. Существенный вклад в доказательство теоремы Ферма внес Э. Куммер, который создал принципиально новый метод, основанный на разработанной им арифметической теории кругового поля. Используется тот факт, что в поле , левая часть уравнения (1) разлагается на линейные множители , которые являются p-ми степенями идеальных чисел поля в первом случае и отличаются от p-х степеней на множитель во втором случае. Если p делит числители Бернулли чисел B2n (n = 1, 2, ..., (p - 3)/2), то по критерию регулярности p не делит число h классов идеалов поля и эти идеальные числа - главные. В этом случае Э. Куммер доказал теорему Ферма. Не известно бесконечно или конечно число регулярных чисел p (по теореме Иенсена число иррегулярных простых чисел бесконечно). Э. Куммер доказал теорему Ферма для некоторых классов иррегулярных простых чисел и тем самым установил ее справедливость для всех p < 100. В первом случае он показал, что из (1) следует выполнимость сравнений

n = 2, 4, ..., p - 3,

справедливых при любой перестановке x, y, -z. Отсюда он получил, что если в первом случае уравнение (1) разрешимо, то для n = 3, 5

     (2)


-1-2-3-



© 2006- 2021  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, векторы , самосопряженные операторы

     Теорема Ферма, уравнение Ферма, доказательство для n=3.