Но так как основные отношения определяются для каждого множества, исходя из конкретных свойств его элементов, то, изучая в абстрактной форме свойства основных отношений, данная теория изучает, таким образом, некоторые конкретные свойства целого класса конкретных множеств. Это диалектическое единство абстрактного и конкретного свойственно всякой науке, но в математике оно проявляется, пожалуй наиболее ярко. Конечно, математика изучает не все свойства материальных тел, а лишь те из этих свойств, которые поддаются количественной оценке или пространственному описанию. Основные для всей математики понятия числа и фигуры являются абстрактным выражением именно этих свойств материальных тел. Таким образом, несмотря на абстрактный характер построения современной математики, для нее остается в силе определение, данное Энгельсом:

     "Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира".

     Понятие множеств, имеющих одинаковые свойства отношений между их элементами и поэтому неразличимых в рамках данной математической теории, получает точное выражение в следующем общем понятии измоморфизма:

     Два множества M и M', в каждом из которых определены отношения элементов, образующие некоторую систему отношений S, называются изоморфными (запись ) относительно данной системы отношений (короче просто изоморфными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее все отношения системы S, т. е. такое, что если любые элементы M находятся в любом из отношений системы S, то соответствующие им элементы M' находятся в том же отношении, и обратно.

     Можно сказать, что аксиоматическая теория изучает множества лишь с точностью до изоморфизма относительно системы основных отношений данной теории.

     Понятие изоморфизма обладает тремя основными свойствами:

     1) ,

     2) если , то ,

     2) если и , то .

     Например, в случае отсутствия каких-либо отношений (в случае, когда система отношений S есть пустое множество) определение изоморфного множества обращается в определение эквивалентности (Функция, отображение, мощность), а в случае одного отношения "a предшествует b" при выполнении соответствующих аксиом - в отношение подобия (Упорядоченные множества).

-1-2-3-4-5-