То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинаковость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулировать в виде следующего положения:

     Если множества M и M' изоморфны относительно некоторой системы отношений S, то любое свойство множества M, формулированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отношений, определяемых через отношения системы S), переносится на множество M', и обратно.

     Разберем это положение на конкретном примере.

     Пусть в множествах M и M' определено отношение "больше", и они изоморфны относительно этого отношения; тогда, если M упорядочено, т. е. если в M выполнены свойства 1) и 2) из раздела Упорядоченные множества, то они выполнены и в M'.

     Докажем свойство 1). Пусть a' и b' - элементы M' и a и b - соответствующие элементы M. В силу условия 1) в M выполнено одно из соотношений a = b, a > b, b > a. Отображение M на M' сохраняет отношение "больше". Значит, выполнено одно из соотношений a' = b', a' > b', b' > a'. Если бы в M' выполнялось более одного из них, то из сохранения отношения "больше" при отображении M' на M следовало бы выполнение более одного отношения для a и b, что противоречит условию 1).

     Докажем свойство 2). Если a' > b' и b' > c', то также a > b и b > c. В самом деле, в M должно быть a > c. Значит, a' > c'.

     Займемся теперь изоморфизмом групп колец и полей. Ввиду того, что здесь отношения a + b = c и ab = c удовлетворяют дополнительным требованиям, что для любых a и b существует одно и только одно c, для которого a + b = c или ab = c (эти два требования являются по существу двумя дополнительными аксиомами), причем эти требования предполагаются выполненными как в M, так и в M', определение изоморфизма групп колец и полей можно упростить по сравнению с определением изоморфного множества, а именно требовать сохранения основных отношений лишь при переходе от M к M'. Ограничиваясь случаем колец и полей, нужным в дальнейшем при определении числовых областей (случай групп отличается от рассмотренного лишь тем, что налицо одна операция вместо двух), получаем таким образом:

     Кольцо (или поле) R называется изоморфным кольцу (соответственно полю) R' (запись ), если существует взаимно однозначное отображение R на R', при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов R'.

     Покажем, что это определение является частным случаем общего определения изоморфного множества. Для этого надо лишь убедиться, что обратное отображение R' на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть в R' имеем: a' + b' = c', и элементам a', b', c' при обратном отображении соответствуют a, b, c из R. Надо доказать, что a + b = c. Но если a + b = d ≠ c, то из определения, данного в предыдущем абзаце, следовало бы a' + b' = d' ≠ c', что противоречит однозначности операции сложения в R'

     В последнем рассуждении мы не пользовались аксиомами кольца I - VI. Поэтому определение кольца изоморфного кольцу (поля изоморфного полю) дословно переносится на любые множества, в каждом из которых задано две алгебраические операции - сложение и умножение.

-1-2-3-4-5-