решения некоторых задач

     Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов

     Применим изложенные результаты к одному вопросу, имеющему фундаментальное значение для курса элементарной алгебры. Мы имеем в виду вопрос о том, как составляются логарифмические таблицы.

     Рассмотрим геометрическую прогрессию

1 - x + x² - x³ + ...

     Она сходится, когда ее знаменатель q = -x по абсолютной величине меньше единицы, т. е. когда -1 < x < 1, причем сумма ее в этом открытом промежутке равна .

     Итак,

     Проинтегрируем это равенство почленно по промежутку [0, z], где -1 < z < 1, что законно по теореме 2. В результате приходим к равенству

которое можно записать и так:

     (27)

     Это равенство доказано для -1 < x < 1. Для x = -1 нельзя и ставить вопроса о справедливости этого равенства, т. к. обе его части теряют при этом x числовой смысл (слева ln 0, справа расходящийся ряд). Напротив, при x = +1 и слева и справа получаются выражения, имеющие числовой смысл, но мы пока все же еще не имеем оснований утверждать справедливость равенства этих выражений, т. е. что

     (28)

     Докажем, что равенство (28) все же верно. С этой целью будем исходить не из бесконечного ряда

1 - x + x² - x³ + ...,

а из конечной суммы

Отсюда

или, интегрируя от 0 до 1,

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-