6. Линейные геометрии. Теперь можем охарактеризовать место линейных геометрий в этой общей картине. В известном смысле слова линейные геометрии относятся к числу непосредственных потомков геометрии Евклида. Рассматриваемые в них пространства M суть либо линейные пространства (теперь уже над общими полями, хотя R или C по-прежнему остаются в центре внимания, особенно ввиду многочисленных приложений), либо пространства, производные от линейных: аффинные ("линейные пространства без отмеченного начала координат") и проективные ("аффинные пространства, пополненные бесконечно удаленными точками"). Группы симметрий суть подгруппы линейной группы, которые сохраняют фиксированное "скалярное произведение", а также их расширения сдвигами (аффинные группы) или фактор-группы по гомотетиям (проективные группы). Рассматриваемые функции линейны или близки к линейным, иногда квадратичны. Фигуры суть линейные подпространства и многообразия (обобщения прямых на евклидовой плоскости) и квадрики (обобщения окружностей). Можно представлять себе эти обобщения евклидовой геометрии как результат чисто логического анализа, и установившийся формализм линейных геометрий действительно обладает удивительной стройностью и компактностью. Но жизнеспособность этой ветви математики в значительной мере связана с ее многообразными естественнонаучными приложениями. Понятие скалярного произведения, лежащее в основе всей второй части, может служить для измерения углов в абстрактных евклидовых пространствах. Но математик, который не знает, что оно же измеряет вероятности (в моделях квантовой механики), скорости (в пространстве Минковского специальной теории относительности) и коэффициенты корреляции случайных величин (в теории вероятности), лишается не только общей широты кругозора, но и гибкости чисто математической интуиции. Поэтому в данной части включены сведения об этих интерпретациях.

-1-2-3-