4. "Числа". Открытием столь же фундаментальной важности был декартов "метод координат" и основанная на нем аналитическая геометрия плоскости и пространства. С современной точки зрения координаты суть некоторые функции на пространстве M (или на его подмножествах) с вещественными, комплексными или еще более общими значениями. Задание конкретных значений этих функций позволяет зафиксировать точку пространства, а задание соотношений между этими значениями определяет множество точек. Описание класса рассматриваемых в данной геометрии фигур в M можно заменить описанием класса соотношений между координатами, которые описывают интересующие нас фигуры. Поразительная гибкость и сила метода Декарта связана с тем, что функции на пространстве можно складывать и умножать, интегрировать, дифференцировать и применять другие процессы предельного перехода и в конечном счете пользоваться всей мощью математического анализа. Все общие современные геометрические дисциплины - топология, дифференциальная и комплексно аналитическая геометрия, алгебраическая геометрия - выбирают в качестве исходного определения понятие геометрического объекта как совокупности пространства M и заданной на нем совокупности F (локальных) функций.

5. "Отображения". Если (M₁, F₁) и (M₂, F₂) - два геометрических объекта описанного выше типа, то можно рассматривать отображения , которые обладают тем свойством, что обратное отображение на функциях переводит элементы из F₂ в элементы из F₁. В наиболее логически завершенных схемах среди таких отображений находятся как группы симметрий Ф. Клейна, так и сами координатные функции (как отображения M в R или C). Геометрические объекты образуют категорию, и ее морфизмы служат достаточно тонкой заменой симметрий даже в тех случаях, когда этих симметрий не слишком много (как у общих римановых пространств, где можно измерять длины, углы и объемы, но движений, вообще говоря, не достаточно).

-1-2-3-