Действительные числа

     Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.

     Если a и b - действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются и

a + b и ab (замкнутость),     (1)

a + b = b + a, ab = ba (коммутативность),     (2)

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c, a(bc) = (ab)c = abc (ассоциативность),     (3)

a * 1 = a (единица),     (4)

a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность),     (5)

;из a + c = b + c следует a = b, из ca = cb, , следует a = b (сокращение).     (6)

     Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами a + 0 = a, a * 0 = 0 для каждого действительного числа a.

     (Единственное) противоположное число -a и (единственное) обратное число a ^-1 = 1/a для действительного числа a определяются соответственно так:

a + (-a) = a - a = 0, aa ^-1 = 1 ().

     Помимо "алгебраических" свойств, класс положительных целых, или натуральных, чисел 1, 2, ... обладает свойством упорядоченности (n > m, если n = m + x, где x - некоторое натуральное число) и полной упорядоченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент). Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов n следующий за ним элемент n + 1, содержит все натуральные числа (принцип полной индукции).

     Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) для каждого натурального числа N существует единственное следующее за ним натуральное число S(n); 3) ; 4) из S(n) = S(m) следует n = m и 5) имеет место принцип полной индукции. (При его формулировке элемент, следующий за n, обозначается через S(n).) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам (1)-(6), определяются "рекуррентными" соотношениями

n + 1 = S(n),
n + S(m) = S(n + m),
n*1 = n,
n*S(m) = n*m + n.

     Целыми числами называются числа вида n, -n и 0, где n - натуральное число, а рациональными - числа вида p/q, где p и q - целые числа и .

     Действительные числа можно ввести, исходя из множества рациональных чисел, с помощью предельного процесса. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

-1-2-