Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы

решения других задач по данной теме


Найти объем тела T, ограниченного поверхностью и координатными плоскостями.


Решение.

Тело T изображено на рисунке.

Для вычисления его объема удобно перейти к обобщенным сферическим координатам (r, θ, φ) по формулам

x = 2r2 sin4θ cos4φ,                   

y = 3r2 sin4θ sin4φ,               (*)

z = 15r2 cos4θ.                        

Тогда уравнение поверхности S примет простой вид: r = 1. В пределах тела T переменная φ изменяется от 0 до π/2, при каждом значении переменная θ изменяется также от 0 до π/2, а на каждом луче φ = const, θ = const переменная r изменяется от 0 (значение r в начале координат) до 1(значение r на поверхности S). Итак, прообразом тела T при отображении (*) является прямоугольный параллелепипед в пространстве (r, θ, φ):

τ = {(r, θ, φ): 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θπ/2, 0 ≤ φπ/2}.

Якобиан отображения (*) равен 2880 r5sin7θ cos3θ sin3φ cos3φ ().

Используя формулу для объема тела в криволинейных координатах и вычисляя интеграл по области τ с помощью повторного интегрирования, получаем


решения других задач по данной теме



© 2006-2021 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, минор , матанализ , симметрия , матрицы

     Примеры решения задач: найти объем тела T, ограниченного поверхностью и координатными плоскостями.