Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Введение в анализ / Равномерная непрерывность функций
решения других задач по данной теме Доказать, что если функция f определена и непрерывна в области a ≤ x < +∞ и существует конечный предел Решение. Из существования предела следует, что
Фиксируем такое E > 0 и рассмотрим [a, 2E]. Согласно теореме Кантора, функция f равномерно-непрерывна на [a, 2E], т. е.
Не ограничивая общности, считаем, что δ < E. Тогда из условия |x - y| < δ следует, что оба числа x и y бóльшие E или оба меньшие 2E. В том и другом случае для любых x и y, бóльших a, из условия |x - y| < δ следует неравенство |f(x) - f(y)| < ε, что доказывает равномерную непрерывность функции f на [a, +∞[. решения других задач по данной теме |
, то f равномерно-непрерывна в этой области.
(1)
, в частности, для ε, указанного ранее, Ǝ δ > 0 такое, что
